ФЭНДОМ


Шаблон:Плохой перевод Биметрические теория гравитацииальтернативные теории гравитации, в которых вместо одного метрического тензора используются два или более. Часто вторая метрика вводится только при высоких энергиях, в предположении, что скорость света может иметь зависимость от энергии. Наиболее известными примерами биметрических теорий являются теория Розена и релятивистская теория гравитации (последняя — в канонической трактовке).

Биметрическая теория Розена Править

В общей теории относительности предполагается, что расстояние между двумя точками в пространстве-времени определяется метрическим тензором. Уравнения Эйнштейна используются затем для расчета формы метрики на основании распределения энергии.

Натан Розен (1940) предложил в каждой точке пространства-времени ввести в дополнение к риманову метрическому тензору $ g_{ij} $ евклидов метрический тензор $ \gamma_{ij} $ . Таким образом, в каждой точке пространства-времени мы получаем две метрики:

$ ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j} $
$ d\sigma^{2}=\gamma_{ij} dx^{i} dx^{j} $

Первый метрический тензор $ g_{ij} $ описывает геометрию пространства-времени и, таким образом, гравитационное поле. Второй метрический тензор $ \gamma_{ij} $ относится к плоскому пространству-времени и описывает инерционные силы. Символы Кристоффеля, сформированные из $ g_{ij} $ и $ \gamma_{ij} $, обозначим $ \{^{i}_{jk}\} $ и $ \Gamma^{i}_{jk} $ соответственно. $ \Delta $ определим таким образом, чтобы

$ \Delta^{i}_{jk}=\{^{i}_{jk}\}-\Gamma^{i}_{jk}~~~~~~~~~~~~~~(1) $

Теперь возникают два вида ковариантного дифференцирования: $ g $-дифференцирование, основанное на $ g_{ij} $ — обозначается точкой с запятой (;), и 3-дифференцирование на основе $ \gamma_{ij} $ — обозначается символом / (обычные частные производные обозначаются запятой (,)). $ R^{\lambda}_{ij \sigma} $ и $ P^{\lambda}_{ij \sigma} $ будут тензорами кривизны, рассчитываемыми из $ g_{ij} $ и $ \gamma_{ij} $ соответственно. На основе вышеизложенного подхода, в том случае, когда $ \gamma_{ij} $ описывает плоскую пространственно-временную метрику, тензор кривизны $ P^{\lambda}_{ij \sigma} $ равен нулю.

Из (1) следует, что хотя $ \{^{i}_{jk}\} $ и $ \Gamma $ не являются тензорами, но $ \Delta $ — тензор, имеющмий такую же форму, как $ \{^{i}_{jk}\} $, за исключением того, что обычная частная производная заменяется 3-ковариантной производной. Простой расчет приводит к

$ R^{h}_{ijk}=-\Delta^{h}_{ij/k}+\Delta^{h}_{ik/j}+\Delta^{h}_{mj}\Delta^{m}_{ik}-\Delta^{h}_{mk}\Delta^{m}_{ij} $

Каждый член в правой стороне этого соотношения является тензором. Видно, что от общей теории относительности, можно перейти к новой теории, заменив $ \{^{i}_{jk}\} $ на $ \Delta $, обычное дифференцирование на 3-ковариантное дифференцирование, $ \sqrt {-g} $ на $ \sqrt{\frac{g}{\gamma}} $, элемент интегрирования $ d^{4}x $ на $ \sqrt {-\gamma}d^{4}x $, где $ g = det(g_{ij}) $, $ \gamma = det(\gamma_{ij}) $ и $ d^{4}x = dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4} $. Необходимо отметить, что, как только мы ввели $ \gamma_{ij} $ в теорию, то в нашем распоряжении оказывается большое число новых тензоров и скаляров. Таким образом, можно получить уравнения поля, отличающиеся от уравнений поля Эйнштейна.

Уравнение для геодезической в биметрической теории относительности (БТО) принимает форму

$ \frac{d^2x}{ds^2}+\Gamma^{i}_{jk}\frac{dx^{j}}{ds}\frac{dx^{k}}{ds}+\Delta^{i}_{jk}\frac{dx^{j}}{ds}\frac{dx^{k}}{ds}=0~~~~~~~~~~~~~~(2) $

Из уравнений (1) и (2) видно, что можно считать, что $ \Gamma $ описывает инерциальное поле, поскольку $ \Gamma $ исчезает при помощи подходящего преобразования координат. Свойство же $ \Delta $ быть тензором не зависит от каких-либо систем координат, и, следовательно, можно полагать, что $ \Delta $ описывает постоянное гравитационное поле.

Розеном (1973) были найдены биметрические теории, удовлетворяющие принципу эквивалентности. В 1966 г. Розен показал, что введение плоской пространственной метрики в рамках общей теории относительности не только позволяет получить плотность энергии-импульса тензора гравитационного поля, но также позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Уравнение поля в БТО, полученное из вариационного принципа

$ K^{i}_{j}= N^{i}_{j}-\frac{1}{2}\delta^{i}_{j}N = -8 \pi \kappa T^{i}_{j}~~~~~~~~~~~~~~(3) $

где

$ N^{i}_{j}=\frac{1}{2}\gamma^{\alpha \beta}(g^{hi} g_{hj /\alpha})/ \beta $

или

$ N^{i}_{j}= \gamma^{\alpha \beta}\left\{(g^{hi}g_{hj, \alpha}),\beta - (g^{hi}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\alpha}),\beta\right\} - \gamma^{\alpha \beta}(\Gamma^{i}_{j\alpha}),\beta + \Gamma^{i}_{\lambda \beta}[g^{h\lambda}g_{hj},\alpha - g^{h\lambda}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\alpha} - \Gamma^{\lambda}_{j\alpha}]-\Gamma^{\lambda}_{j\beta}[g^{hi}g_{h\lambda},\alpha - g^{hi}g_{m\lambda}\Gamma^{m}_{h\alpha} -\Gamma^{i}_{\lambda\alpha}] $
$ + \Gamma^{\lambda}_{\alpha \beta}[g^{hi}g_{hj},\lambda - g^{hi}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\lambda} -\Gamma^{i}_{j\lambda}] $
$ N= g^{ij}N_{ij}, \kappa=\sqrt{\frac{g}{\gamma}}, $

и $ T^{i}_{j} $ - тензор энергии-импульса. Вариационный принцип приводит также к связи

$ T^{i}_{j;i}=0. $

Поэтому из (3)

$ K^{i}_{j;i}=0, $

что подразумевает, что пробная частица в гравитационном поле движется по геодезической по отношению к $ g_{ij} $. Физические следствия такой теории, впрочем, не отличаются от общей теории относительности.

При ином выборе исходных уравнений биметрические теории и ОТО различаются в следующих случаях:

  • Распространение электромагнитных волн
  • Внешнее поле звезд высокой плотности
  • Распространение интенсивных гравитационных волн через сильное статическое гравитационное поле

Примечания Править

Ссылки Править


Шаблон:Rq

 п·о·р 
Теории гравитации
Стандартные Альтернативные Другие